Теоретические основы электротехники

Резонанс

в электрических цепях

Последовательный и параллельный RLC-контур — условия возникновения, частотные характеристики, добротность и практическое применение.

RLC-контур Добротность Q Частотная характеристика Резонансные явления Мейрдинов Расул · РИМ-25-2Р · META UNIVERSITY

прокрутите

01 — Введение

Физическая природа резонанса

Резонанс — явление при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой колебательной системы. Следствие — резкое возрастание амплитуды.

Масса m хранит кинетическую энергию ↔ Индуктивность L хранит энергию магнитного поля
Пружина k хранит потенциальную энергию ↔ Конденсатор C хранит энергию электрического поля
Трение рассеивает энергию ↔ Активное сопротивление R выделяет тепло

ω₀ = √(k⁄m) ≡ ω₀ = 1⁄√(LC)

Механическая собственная частота ≡ Электрическая резонансная частота

Маятник — механический аналог LC-контура

02 — Схема

Последовательный RLC-контур

u = u_R + u_L + u_C — 2-й закон Кирхгофа

X_L = ωL

Реактивное сопр. катушки

X_C = 1/(ωC)

Реактивное сопр. конденсатора

Z = √(R² + (X_L − X_C)²)

Полное сопротивление контура

I = U / Z

Ток через контур

φ = arctg((X_L−X_C)/R)

Угол сдвига фаз

При X_L > X_C: цепь индуктивная (φ > 0)
При X_L < X_C: цепь ёмкостная (φ < 0)
При X_L = X_C: резонанс (φ = 0)

03 — Условие

Резонансная частота

Условие резонанса:

X_L = X_C

ω₀L = 1 / (ω₀C)

ω₀² = 1 / LC

ω₀ = 1 / √(LC)

f₀ = 1 / (2π√(LC))

[рад/с] [Гц]

При резонансе (ω = ω₀):

Z = R

Полное сопротивление минимально и равно активному

I = U / R

Ток максимален — ограничен только активным R

φ = 0

Ток совпадает по фазе с напряжением (cos φ = 1)

U_L = U_C = Q·U

Напряжения на реактивных элементах превышают приложенное в Q раз!

P = U²/R = I²R

Активная мощность максимальна, реактивная Q = 0

04 — АЧХ

Амплитудно-частотная характеристика

Резонансный пик

При ω = ω₀ ток достигает максимума I_max = U/R
Кривая симметрична в логарифмических координатах

Полоса пропускания

На частотах ω₁ и ω₂: ток = I_max/√2
Мощность вдвое меньше: P = P_max/2
Δω = ω₂ − ω₁ = ω₀ / Q

I(ω) = U / √(R² + (ωL − 1⁄ωC)²)

Амплитуда тока как функция частоты

↗ Кривая нарисована для Q = 10

05 — Параметр

Добротность Q-контура

Добротность контура

0

типичные значения: 10 — 1000

МалаяВысокая

Q = ω₀L / R

Через параметры L и R

Q = 1 / (ω₀ C R)

Через параметры C и R

Q = (1/R)·√(L/C)

Волновое сопротивление / R

Физический смысл Q

Q — во сколько раз U_L = U_C превышает U_ист
Q — обратное значение полосы: Δω/ω₀ = 1/Q
Q — отношение запасённой энергии к рассеиваемой за 1 радиан
Чем выше Q → тем острее резонансный пик

06 — Сравнение

Параллельный vs последовательный контур

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ

Параметр	Последовательный	Параллельный
Резонансная частота ω₀	1 / √(LC)	1 / √(LC) *
Полное сопротивление Z при ω₀	Z_min = R	Z_max = Q²R = L/(RC)
Ток источника при ω₀	Максимум: I = U/R	Минимум: I = U·G
Токи в ветвях L и C	Единственный ток I	I_L = I_C = Q·I_ист
Применение	Полосовой фильтр, радиоприём	ФВЧ, компенсация реактивности

* Для идеального параллельного LC. В реальной схеме с активным сопротивлением: ω₀ = √(1/LC − R²/L²)

07 — Практика

Применения резонанса в технике

📻

Радиоприёмники

f₀ ≈ 0.5 — 108 МГц

Колебательный контур выделяет нужную радиостанцию. Переменный конденсатор изменяет ω₀ = 1/√(LC), перестраивая приём на частоту вещания.

🔌

Электрические фильтры

Звуковые и ВЧ-диапазоны

Полосовые, режекторные и ФНЧ/ФВЧ-фильтры в аудиоаппаратуре, телекоммуникациях и силовой электронике. Крутизна АЧХ пропорциональна Q.

⚡

Резонансные инверторы

f₀ ≈ 20 — 500 кГц

Источники питания с мягким переключением (ZVS/ZCS). Резонанс позволяет переключать транзисторы при нулевом токе/напряжении — минимум потерь.

🏥

МРТ-аппараты

f₀ ≈ 64 — 300 МГц

Радиочастотные катушки возбуждают протоны на частоте Лармора (резонанс ядерных спинов). Q-контура определяет чувствительность и разрешение снимка.

08 — Тест

Проверь знания

Выберите ответ

Итоги

Ключевые результаты

ω₀ = 1/√(LC) f₀ = 1/(2π√(LC)) Q = ω₀L/R Z_рез = R I_max = U/R U_L = U_C = Q·U Δω = ω₀/Q

2

вида контура

Q×

превышение напряжения

4+

отраслей применения

Мейрдинов Расул · РИМ-25-2Р · META UNIVERSITY